累积前景理论下投资组合问题的分析和求解

本文是一篇投资分析论文，本文用的权重函数设置得比较简单，是一种对称的情况，若用更复杂精确的权重函数求具体解，或是求出未代入具体参数值的显性解的结果，并给出清晰具体的经济意义。
第一章  绪论
1.1 研究背景
近年来，由于新冠疫情的影响，国内外各行各业的经济状况都受到了很大的冲击，这使得人们逐渐意识到通过投资的方式获取未来收益的重要性，本文分析了不同风险喜欢类型的人群，在不同的收益率分布情况下的最优投资组合问题，给投资者在风险投资中有一定的参考价值。
在证券市场中，各类证券有不同的收益率和风险，投资者为了获得尽可能高的收益，同时承受尽可能低的风险，通常会选择将多种证券按照一定的组合进行购买投资，以降低系统性风险，并获得相对更高的利益，基于这一点，如何得到最优的投资组合就成了广大投资者关注的重要问题。
投资者在传统的证券投资理论中，常常由自己的主观思想去判断决定而导致做出不够合理的投资组合，此时他们缺少对各种风险资产的定量分析。实际上，投资者最关心的问题是投资组合中收益和风险的关系，有时他们会对长期或短期的数据进行收益和风险之间的关系进行分析，但他们始终无法在不断变换的数据中，找到一个固定的规律，此时投资组合理论逐渐孕育而生。
传统的投资组合模型中，最开始被人认可的是1953年被提出的期望效用理论，这是一个提供了数学化公理的理论，在当时是一个比较规范的理论，解决了当时人们面对不确定风险时应当如何做的问题，但由于后来该理论遇到了许多问题，一些研究者通过具体实验数据验证后，发现它的几个基础公理并不完全符合，其实主要原因在于假设和实际情况不可能完全相同，在现实生活中不存在完全的理性人，且每个人所获取的信息量有限且不同，认知、性格也大相径庭，这时出现了一个新的理论：1979年前景理论被提出，加入了心理因素对投资者的影响，这个是微观经济学中非常受重视的一个内容，被认为是一个对风险决策理论的修正理论。后来同一学者又提出了累积前景理论，在前景理论的基础上，又将适用范围扩展了，允许收入和损失有不同的权重函数，并且满足了一阶随机占优并适用于不确定的决策和风险决策，该理论受到了学者们极大的推崇，运用于包括投资组合在内的各种各样的问题中。

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1.2 国内外研究现状
1.2.1投资组合理论发展现状
从金融市场诞生以来，国内外学者就开始不断探索最优投资组合问题了[1]，从1937年Keynes[2]创立了金融市场投资理论开始，为投资者研究金融市场提供了最原始的理论基础，Markowitz(1952)[3]通过提出一个均值方差优化模型(MVO)开创了现代的投资组合理论(MPT)，为未来几十年在投资组合这个方向上研究的研究者开启了大门，他的模型中把风险大小定义成收益率的波动率大小，这是第一次在最优投资组合选择的理论研究问题中合理运用到了数理统计的方法，这种方法可以使得收益和风险的多目标优化问题达到一个绝佳的平衡效果，从而得到最优的投资组合，但是这个理论在实际应用中可能会有两个不足之处：一是模型计算比较复杂，二是假设前提较多，某些假设或许并不可靠；而后1959年Osborne[4]随之提出了随机游动理论，认为金融市场价格的波动是随机游动的，类似于布朗运动；而后1964年Sharpe[5]等人为了确定更可信的最优投资组合，研究了风险资产的收益和当时金融市场的指数收益间存在的某种关系，在此基础上，使用了均衡市场假定下的资本市场线，其实就是投资者的总风险[6]（即标准差）为基准的资本资产定价模型（CAPM）,在CAPM模型中，由于含有的参数很少，所以极大的减少了需要实时统计的数据，并且减少了很多复杂的公式计算，有比较大的实际应用价值，但在后面的研究中发现，该最优投资组合策略依然有一些缺点：首先是CAPM模型中假定投资者的收益在各个阶段都是属于稳定的正态分布的，但是现实生活中这种情况不可能完全符合；其次是该模型实际上不够复杂，如Sharpe在提出CAPM模型的过程中假设所有的风险资产都被市场因素所控制，并尝试通过这一单一的因素去概括均值-方差模型中全部元素，明显在这样的假设下会使得模型非常的简单和单一了；
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第二章  累积前景理论
2.1 累积前景理论投资组合模型简介
累积前景理论（CPT）是Kahneman和Tversky（1992）提出的一个分析框架，用于描述在不确定情况下投资者们所做决策的方式。累积前景理论研究的问题是如何在面对多个选项时评估它们并选择最优选项。在这种情况下，每支股票都是一个“选项”，而不确定性体现在每个选项可能达到的多种结果上。人们需要计算每个选项的价值，并选择价值最高的选项。
在人们资产配置的过程中，累积前景理论的关键要素是：
1.在投资人的价值函数中，投资人会将资产与某些参考点作比较，而不单单是由最终的财富总额决定；
2.投资人对收益和损失的看法都有所不同，他们在巨大收益的情形下并不都一致的厌恶风险，而且他们对损失明显比对收益更加敏感（该行为被称为损失厌恶）；
3.人们倾向于更相信小概率事件的发生，并低估大概率事件的发生。
由这三个关键要素分别转化为制定投资组合选择模型的以下几个特征：
1.一个财富的参考点（或基准/盈亏平衡点/中性结果）定义收益和损失；
2.值函数（代替了效用函数的概念），在收益的区间函数为凹函数，在损失区间则为凸函数（这种函数称为S形函数），一般而言损失函数比收益函数更陡峭；
3.一种概率加权函数，它是概率测度的非线性变换，使得小概率事件更易发生，大概率事件概率相对降低。
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3.1适定性定义
为了建立一个符合实际情况的实用模型，必须确定该模型是否适定，这里给CPT模型P下一个适定性的定义，方便本文研究这个模型是否符合实际：如果CPT模型P有一个有限的最优解*R,使得CPT值也是有限的，那么我们认为该模型是适定的，即该模型具有适定性，否则该模型不适定，也称之为病态的。
这里讨论的适定性不仅仅是一个数学问题上的建模问题，在实际情况中，也需要该模型能够反映和阐明投资者和市场间的相互作用，并对市场均衡有着很重要的作用和影响，这些会在后面的章节附加说明。
由于本文容许CPT模型买空和卖空，暂时没有对模型加以约束，所以从理论上解释：当该模型病态时，也就是当无限大或U()无限大时，等价于风险资产有无限的风险敞口1；从实际情况来解释：这个病态的模型设置了错误的收益或诱惑，使得投资者采取了无限的杠杆去投资。
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第三章 模型的适定性 ............................ 11
3.1 适定性定义 ................................ 11
3.2 有限的CPT值 .............................. 11
第四章 具体函数下问题的求解 ........................... 14
4.1 权重函数的确定 ................................................ 14
4.2 超额收益率服从均匀分布时问题的求解 .................................... 14
第五章 结论与展望 ................................. 35
5.1 主要结论 .................................. 35
5.2 研究展望 ..................................... 35
第四章 具体函数下问题的求解
4.1权重函数的确定
由于Kahneman和Tversky的权重函数（2.8）和（2.9）中，没有具体的公认的经济解释，并且计算起来较为复杂，这里将使用一个满足假设2中权重函数的几条性质的函数：

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这里的参数m N+，图4-1是当(4.1)中m=1时得到的三次函数，该函数满足假设2中权重函数所有的性质，当m取更大的值时，会导致函数中间段更平，趋于0和1的两端更陡，从经济意义上来看，人们会更加高估小概率事件和更加低估大概率事件的发生，所以这里后文对该模型的求解令m=1会更符合实际情况，并且一定程度上降低了计算的难度。
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第五章  结论与展望
5.1 主要结论
此为正文最后一章。本文主要研究了累积前景理论模型下最优投资组合问题的分析和具体条件下的求解问题，对于同一个权重函数，用不同的效用函数和分布函数，得到不同的最优投资组合解。
首先在第一章中介绍了本文的研究背景和意义，以及国内外关于累积前景理论和投资组合方向的主要研究现状；第二章对本文使用的重要的累积前景理论模型进行了比较详细的介绍，并提出了几个模型中函数的假设，介绍了前辈在模型中用的几种比较复杂的权重函数，并通过实证确定了权重函数中参数的值，对本文中参数的选定有着重要的意义；第三章为了使模型中函数的设置更符合经济意义，对累积前景理论的模型给了一个适定性的定义，并证明了当满足一定假设条件时，价值函数模型具有连续性；
第四章在前两章的模型假设条件下，设置了一个权重函数，并在该权重函数下进一步分别确定了效用函数和超额收益率的分布函数，分别研究出了：1.指数效用函数和超额收益率满足均匀分布条件下，做多和做空两种情况的最优投资组合解；2.对数效用函数和超额收益率满足均匀分布下，做多和做空两种情况的最优投资组合；3.指数效用函数和风险资产收益率满足负指数分布条件下，做多情况下的最优投资组合，其中分析了参数之间的限定关系、边际价值函数的间断点问题、无风险收益率大小对最优投资组合的影响问题，解决了具体函数情况下该模型的求解问题。
参考文献（略）